L’incredibile storia di Grigorij Perel’man e della Congettura di Poincaré.

Perel’man è, probabilmente, uno dei migliori matematici della nostra epoca ed è divenuto famoso in tutto il mondo aver dimostrato uno dei sette Problemi del Millennio (la Congettura di Poincaré). Oggi vive a San Pietroburgo ed è uscito dal palcoscenico mondiale della matematica, senza dare grosse spiegazioni a nessuno, ha tagliato semplicemente tutti i ponti per ritirarsi a una vita riservata. Oggi proviamo a raccontarvi la sua incredibile storia.

Grigorij Perel’man nasce a Leningrado (oggi San Pietroburgo) il 13 giugno del 1966 da Yakov e Ljubov’. Qualche anno prima a Ljubov’ venne offerto un posto all’università dal professore Garold Natanson, una proposta non di poco conto perché le donne venivano considerate come scienziate poco affidabili; per di più questa particolare studentessa era anche ebrea, religione che non veniva vista di buon occhio dal regime sovietico visto il tacito antisemitismo che aleggiava nelle istituzioni. Dieci anni più tardi Ljubov’ tornò a parlare col suo professore per chiedergli un consiglio: suo figlio Grigorij dimostrava un’ottima predisposizione alla matematica ma non sapeva a chi rivolgersi per poter trasformare quella dote in un talento. Natanson individuò un giovane istruttore capace preparalo: Sergej Rukšin che gestiva un club di matematica. Grigorij, soprannominato affettuosamente Griša, si iscrisse al club, che aveva sede nel Palazzo dei Pionieri di Leningrado, nell’autunno del 1976.

Il club si riuniva due volte alla settimana e venivano assegnati dieci problemi da risolvere autonomamente e, successivamente, discussi in classe. Perel’man aveva un modo estremamente originale, che lo avrebbe accompagnato per tutta la vita, quando affrontava un problema. I ragionamenti e i passaggi algebrici avvenivano principalmente nella sua mente, riducendo al minimo indispensabile l’uso dell’inchiostro sulla carta. Mentre pensava però faceva un sacco di altre cose: principalmente si lamentava, si dondolava ed emetteva suoni che i suoi compagni definivano “terrore acustico” ma, se qualcuno domandava cosa stesse facendo, Griša rispondeva che stava canticchiando una qualche composizione classica.

Per continuare nel processo di apprendimento della matematica Grigorij, con il patrocinio di Rukšin, si iscrisse al famoso Liceo n. 239 (una scuola specializzata in matematica e fisica) a Leningrado; le origini di queste scuole di alta formazione risiedono nelle idee di un altro grande matematico sovietico, Andrej Nikolaevič Kolmogorov. Nel settembre del 1980 il quattordicenne Grigorij venne accettato nel Liceo e inserito nella prima classe di ragazzi provenienti dai club di matematica. All’interno dell’aula Perel’man era visto come una sorte di oracolo della matematica, si udiva la sua voce solo quando era strettamente necessario intervenire nella risoluzione di un problema piuttosto ostico; diceva che aspettava con ansia la domenica solo per poter risolvere in santa pace problemi di matematica. Già, la matematica, era la sua materia. Non pensava ad altro, non parlava d’altro ed era concentrato solamente su di essa, escludendo qualsiasi altra cosa dalla sua mente. A scuola era comunque uno studente modello, eccelleva in tutte le materia tranne una, l’educazione fisica.

Durante la pubertà si stava delineando la personalità Griša: era un ragazzo terribilmente onesto, doveva dire sempre la verità e, soprattutto, era ligio al dovere. Non importava cosa bisognasse fare, quale contenuto studiare, se era necessario sottostare a interminabili ore di propaganda comunista Griša era in prima fila, non perché fosse interessato alla politica (tutt’altro!) ma perché doveva adempiere ai suoi obblighi di studente.

Solitamente nelle scuole sovietiche ci si diplomava a diciassette anni e, in quegli anni, il sistema di ammissione all’università era basato su una serie di prove scritte e orali. Il diplomato però poteva presentare la domanda di ammissione solamente a due atenei; se il candidato era un maschio e falliva entrambe le prove, lo studente veniva mandato a fare il servizio militare. Quando Perel’man ottenne il diploma, l’Unione Sovietica era impegnata nella guerra in Afghanistan e il fantasma di essere mandato in guerra aleggiava sopra la testa di ogni ragazzo, incluso Griša.

Un giovane Grigorij

Per un giovane genio matematico e di origine ebraica, c’erano solo tre strade percorribili per entrare all’università:

  • Presentare una domanda in un ateneo che non fosse Leningrado, visto le loro forti politiche antisemite (venivano ammessi solamente due ebrei ogni anno).
  • Affidarsi alla fortuna di essere uno dei due studenti ebrei che venivano accettati
  • Diventare un membro della squadra sovietica e partecipare alle Olimpiadi Internazionali della matematica, poiché i componenti del team venivano successivamente ammessi a qualsiasi università di loro scelta senza dover superare gli esami di ingresso.

Dopo interminabili ed estenuanti selezioni Grigorij Perel’man venne selezionato per far parte delle Olimpiadi Internazionali del 1982; il 7 luglio la quadra arrivò a Budapest e la gara ebbe luogo il 9 e 10 luglio. Il 14 arrivarono i risultati: Perel’man conquistò la medaglia d’oro con un punteggio di 42 su 42[1]. Dopo questa incredibile prestazione ottenne di diritto un posto presso la Scuola di Matematica e Meccanica all’Università di Leningrado.

L’obiettivo ultimo dell’Ateneo era quello di formare dei matematici di professione ma prevedeva ancora la frequenza di corsi sul materialismo dialettico e un intero corso intitolato Critica ad alcuni aspetti del pensiero borghese contemporaneo e dell’ideologia anticomunista. Quasi tutti gli studenti cercavano ogni tipo di scorciatoia per evitare di presentarsi alle lezioni di ideologia comunista; quasi tutti. Grigorij seguiva qualunque tipo di lezione, compresi lunghi e noiosi convegni da cui era comunque esonerato perché nelle prove, che avevano una scala da uno a cinque, non aveva mai preso un voto inferiori a quattro.

Il suo compagno di corso Aleksandr Golovanov, che conosceva Perel’man dai tempi del club di matematica, disse in merito:

“Perel’man accettava di buon grado di seguire le lezioni sul marxismo perché rientravano nel pacchetto educativo e utilizzava la sua straordinaria capacità di sintesi a beneficio dei compagni di classe[..]. Griša riusciva in qualche modo a trovare degli elementi di razionalità, se così si può dire, in quei corsi. Quindi i suoi appunti su quella materia assurda erano di fondamentale importanza per tutti noi, nonostante nel suo lessico il termine politica era sempre una parolaccia.” [2]

Difatti la politica non ha mai interessato il giovane genio sovietico, non di rado diceva “Ma questa è politica, è meglio se ci concentriamo sulla matematica”.

Un episodio che ha segnato la vita matematica di Perel’man avvenne durante il suo primo anno di Università. Si trattava dell’incontro con una vera leggenda vivente: Aleksandr Danilovič Aleksandrov che teneva il corso di geometria per le matricole; Aleksandrov ebbe una grossa influenza su Griša e sul suo lavoro futuro.

Al termine del primo anno di università, Grigorij venne chiamato da Rukšin a fare da istruttore a un gruppetto di matematici, più giovane di lui solamente di un paio d’anni. Perel’man era un insegnante severo; assegnava ai ragazzi venti problemi giornalieri e se a mezzogiorno uno studente non ne risolveva almeno la metà, gli veniva detto che avrebbe saltato il pranzo. (Ovviamente era solo uno strano, e per niente pedagogico, modo di spronarli). Ma questo non era tutto: Griša iniziò anche a cacciare dall’aula gli studenti. Rukšin stesso più tardi disse:

“Avevamo cercato di spiegargli che, se un alunno era stato ammesso al campo estivo, non poteva tenerlo fuori dalla classe per giorni interi, perché a quel punto non si trattava più di una punizione ma di una totale follia!” [3]

Giusto per dare un’idea, tra i ragazzi cacciati c’era Konstantin Kohas, che qualche tempo dopo ottenne la cattedra di Analisi Matematica proprio all’Università di Leningrado.

La descrizione di Grigorij come insegnate è riassunta egregiamente nelle parole di Rukšin:

“Perel’man era un ottimo insegnate per gli studenti più preparati, un bravo professore per quelli con buone competenze, e uno mediocre per quelli he avevano una conoscenza limitata della materia” [4]

I tempi stavano diventando maturi per Grigorij, che era in procinto di terminare il terzo anno di Università, e doveva scegliere un argomento su cui specializzarsi. Questa scelta era facile: la geometria Riemanniana. Ma chi lo poteva guidare e far trasformare, da quel genio che era, in un vero esperto della materia? La scelta ricadde su un grande della geometria sovietica: Viktor Abramovich Zalgaller.

Una volta laureatosi si presentò un ulteriore problema: come fare per accedere al dottorato? Perel’man desiderava iscriversi al prestigioso Dipartimento di Steklov, nella sede distaccata di Leningrado, il più importante centro di ricerca matematica dell’intera Unione Sovietica, strettamente collegato con l’Accademia delle Scienze Sovietiche dell’URSS. Ma la ricerca era quasi del tutto inaccessibile agli ebrei. Per Garantire a Griša l’accesso allo Steklov, Zalgaller chiese aiuto a un suon ex studente, Jurij Burago, che era capo del Laboratorio di Geometria e Topologia del Dipartimento di Leningrado dello Steklov.[5]

Burago parlò con Aleksandr Danilovič Aleksandrov (il prestigioso professore sopra citato) che scrisse una lettera di raccomandazione alla direzione dello Steklov chiedendo di ammettere Perel’man al dottorato, sotto la sua stessa supervisione. Il fatto in sé è eclatante; un membro a pieno titolo dell’Accademia delle Scienze dell’URSS, un uomo che era la figura di riferimento della geometria sovietiche, aveva scritto una lettera in favore di un giovane studente appena laureato.

Così, nel 1987, Grigorij venne accettato e iniziò la specializzazione; ottenne il dottorato di ricerca nel 1990 con una tesi intitolata “Saddle Surfaces in Euclidean Spaces”. Successivamente conobbe Michail Gromov, importante matematico che ancora è membro dell’IHÉS (Institut des hautes études scientifiques) un importante centro di studi francese per la matematica e la fisica teorica, che ebbe un’influenza fondamentale su di lui. Grazie alle sue raccomandazioni, Perel’man iniziò a tenere una serie di conferenze negli Stati Uniti sugli Spazi di Aleksandrov, un’idea che il suo consulente aveva abbandonato già negli anni Cinquanta. Proprio questi spazi nel 1992 pubblicò un importantissimo articolo, firmato con Gromov e Burago, dal titolo “Aleksandrov Spaces with Curvatures Bounded Below” sul Russian Math Surveys. Grazie a questi lavori Perel’man vinse nel 1991 il Premio Per i Giovani Matematici dato dalla Società Matematica di San Pietroburgo. [6]

Il risultato matematico che consacrò Perel’man fu la dimostrazione della, così detta, Congettura dell’Anima (oggi noto come Teorema di Cheeger-Gromoll) formulata nel 1972 e dimostrata nel 1994 proprio da Grigorij in un articolo di sole quattro pagine. Per questo risultato venne invitato a parlare al Congresso Internazionale dei Matematici che, nel 1994, si tenne a Zurigo. Da questo punto in poi Grigorij venne corteggiato da moltissime università statunitense, tra queste la famosa e rinomata Princeton University (che in passato ospitò tra le più importanti menti del Novecento). Rifiuta però tutte le offerte ricevute, con modi di fare che entrarono di diritto nella leggenda dell’ambiente matematico.

Perel’man, all’epoca, disse a diverse persone di essere disposto ad accettare solamente un posto di ruolo, senza fare la solita trafila accademica, forse per presunzione, forse perché conscio di aver dato delle prove inconfutabili (le dimostrazioni e le pubblicazioni) del suo talento matematico. Fu così che Nel 1995 acquistò un biglietto aereo e tornò a San Pietroburgo, chiedendo di poter tornare a lavorare all’istituto Steklov. Si rinchiude nella più totale solitudine, forse, per trovare la concentrazione necessaria per affrontare uno dei problemi più insormontabili di sempre: la Congettura di Poincaré.

Alcune definizioni e piccola storia della topologia

La topologia è una branca della matematica che si occupa dello studio delle proprietà delle figure geometriche che si mantengono anche quando tali figure vengono deformate in modo continuo (tramite, ad esempio, allungamenti o torsioni); una delle più importanti classi di trasformazioni di figure geometriche sono gli omeomorfismi.[7]

La definizione formale di omeomorfismo è la seguente:

Un omeomorfismo è un’applicazione continua, bigettiva e con inversa continua. Due sottoinsiemi di Rn (il classico spazio euclideo a n-dimensioni) si dicono omeomorfi se esiste un omeomorfismo tra essi. [8]

Una definizione più intuitiva può essere la seguente. Il termine omeomorfismo deriva dal greco homoios= simile e morphe=forma ed è una particolare funzione fra spazi topologici che rende rigorosa l’idea intuitiva di deformazione senza strappi. Ad esempio una tazza e una ciambella sono omeomorfi: deformando la tazza in modo appropriato si può arrivare ad una ciambella.

La topologia in origine si limitava solo allo studio qualitativo degli aspetti geometrici e veniva denominata Analysis Situs. La geometria verso la metà dell’Ottocento subì innumerevoli modifiche da parte di János Bolyai e Nikolaj Ivanovič Lobačevskij e si svilupparono le prime, importantissime, nozioni di geometrie non euclidee. Chi apportò un notevole sviluppo alla materia fu il grande matematico tedesco Bernhard Riemann.

Riemann, dopo essersi laureato nel 1851, iniziò a lavorare sulla sua tesi di abilitazione per diventare libero docente. Prima di ottenere tale incarico doveva tenere una lezione di prova. Egli propose tre argomenti, due dei quali erano stati studiati in maniera approfondita, mentre il terzo affrontava una questione (ancora) spinosa: i fondamenti della geometria. Il grande Gauss, che era stato il suo relatore di tesi ed era membro della commissione che doveva valutare l’operato di RIemann, meditò a lungo su questo argomento e, mosso dalla curiosità, istigò il collegio a scegliere quest’ultima proposta. Il 10 giugno del 1854 fu la data della sua lezione di prova; Riemann presentò lo studio Sulle ipotesi che sono alla base della geometria.

“Contrariamente alla tradizione, Gauss aveva scelto il terzo dei soggetti presentati dal candidato, perché desiderava vedere come un uomo così giovane, avrebbe trattato un argomento tanto difficile. Il sorprendente risultato della lezione fu superiore a qualsiasi aspettativa, e uscendo dal consiglio di facoltà Gauss espresse a Weber la sua alta considerazione circa le idee proposte da Riemann, esprimendosi con un calore molto raro in lui” [9]

Riemann presenta la geometria sotto una nuova luce; si tratta di una nuova geometria non euclidea (diversa cioè dal lavoro dei suoi predecessori Bolyai e Lobačevskij) basata sull’idea di misurazione.

Nel suo lavoro spicca un concetto fondamentale che è quello di varietà.

Una varietà è una classe di oggetti tale che ogni elemento della classe può essere identificato assegnando dei numeri. In altre parole, una varietà è uno spazio topologico (un particolare tipo di spazio) che localmente assomiglia a uno spazio euclideo. Una varietà n-dimensionale (o n-varietà) è uno spazio topologico che in ogni punto ha un intorno che è omeomorfo allo spazio euclideo di dimensione n. [10]

 La Congettura e i Primi Tentativi di Risoluzione

Il grande matematico francese, denominato spesso l’ultimo enciclopedico, Henri Poincaré diede contributi sorprendenti e fondamentali alla topologia. Questi risultati vennero pubblicati in sei articoli fra il 1895 e il 1904 e hanno fornito la prima trattazione sistematica della topologia e arrivò e gettare le fondamenta della topologia algebrica. Per dovere di cronaca Poincaré, fra il 1901 e il 1912, Poincaré fu candidato per il Premio Nobel non meno di quarantanove volte.[11]

Henri Poincaré

Per superfici 2-dimensionali compatte (che è una particolare proprietà dello spazio che prendiamo in considerazione) prive di frontiera, se ogni cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto (ci troviamo a parlare allora di spazi semplicemente connessi), allora la superficie è topologicamente omeomorfa a una 2-sfera. Poincaré allargò queste considerazioni alle 3-varietà e nel 1904, nell’ultimo dei suoi grandi articoli topologici, arrivò a formulare la sua famosissima congettura che può essere espressa nel seguente modo:

“Ogni 3-varietà compatta, semplicemente connessa è omeomorfa a S3[12]

In altri termini, Poincaré affermò che la 3-sfera, che è la superficie di una palla quadridimensionale, è l’unica varietà tridimensionale in cui dove qualsiasi cammino chiuso può essere contratto fino a diventare un punto.

Egli stesso commentò, con notevole lungimiranza, dicendo “Mais cette question nous entraînerait trop loin” (Ma questa domanda ci porterebbe troppo lontano).[13]

Da quel giorno poi quella, apparentemente semplice, frase tormentò innumerevoli matematici che tentarono invano di dimostrarla.

La prima illustre vittima fu Max Dehn, divenuto famoso quando era ancora studente a Gottinga per aver risolto il terzo problema di Hilbert. Nel 1908 Dehn pensò di aver trovato la dimostrazione e scrisse a David Hilbert per accelerare il processo di pubblicazione per evitare che qualcun atro arrivasse al risultato, come, ad esempio, lo stesso Poincaré. Tuttavia durante il Congresso Internazionale dei matematici del 1908 Dehn, discutendo con dei colleghi, si accorse di aver commesso degli errori e ritirò l’articolo. I progressi più significativi furono merito del matematico americano James Waddell Alexander II che, nel 1932, tenne un discorso al Congresso Internazionale dei matematici ribadendo l’importanza della Congettura di Poincaré. Nel 1936 la Congettura diventò uno dei problemi più famosi della matematica ma ricevette una battuta di arresto, che si protrasse fino al secondo dopoguerra. Solamente nel 1956 il matematico americano John Willard Milnor (Medaglia Fields nel 1962 e Premio Wolf per la matematica nel 1989) riuscì a dimostrare l’esistenza di sfere esotiche, termine da lui coniato per indicare varietà differenziabili omeomorfe ma non diffeomorfe (termine che sta a indicare funzioni che sono differenziabili, invertibili e con inversa differenziabile tra due varietà), in dimensione sette. Con questo risultato Milnor aprì un nuovo filone di ricerca sul calcolo infinitesimale su una sfera che sarà molto utile ai suoi successori. Nel 1960 il matematico John Stallings riuscì a dimostrare la congettura per dimensioni maggiori o uguali a 7; indipendentemente Stephen Smale (Medaglia Fields nel 1966 e Premio Wolf per la matematica nel 2006) riuscì in un’impresa analoga, salvo poi riuscire ad applicare i medesimi metodi dimostrativi al caso delle dimensioni 5 e 6. Circa venti anni più tardi, nel 1982, Michael Freedman (Vincitore della medaglia Fields nel 1986) riuscì ad ottenere la dimostrazione della congettura di Poincaré in dimensione quattro.

Nonostante i grandi passi in avanti, l’enunciato originario della congettura rimaneva inviolato, Gli ingegnosi metodi usati in più dimensioni perdevano di ogni efficacia nello spazio tridimensionale. Verso la metà degli anni Ottanta, il matematico William Thurston arrivò a formulare la sua famosa Congettura di Geometrizzazione che affermava che ogni 3-varietà si decompone in modo unico tagliando lungo sfere bidimensionali e tori, ottenendo così pezzi elementari che potevano essere classificati in diverse geometrie.[14] Quindi la Congettura di Geometrizzazione implica la Congettura di Poincaré come caso particolare dato che nella classificazione di Thurston ogni 3-varietà semplicemente connessa è omeomorfa alla 3-sfera. Il problema quindi si era trasformato o, per essere ancor più onesti, raddoppiato in difficoltà.

Colui che diede il maggiore sviluppo a questa nuova sfida matematica fu Richard Hamilton che, agli inizi degli anni Ottanta, propose un’elegantissima idea. In qualsiasi dimensione, la superficie di una sfera ha una curvatura costante positiva. Immaginiamo di prendere un qualsiasi oggetto, non ben definito, nel nostro spazio tridimensionale e di modellarlo a nostro piacimento; se riuscissimo a misurare come cambia la curvatura, mentre cambia l’oggetto, si potrebbe arrivare al punto in cui questo ha curvatura costante e positiva, cioè che si tratta di una sfera!

Hamilton introdusse un potente strumento matematico, denominato Flusso di Ricci (un’equazione differenziale alle derivate parziali), e arrivò a compiere straordinari passi in avanti. Riuscì a dimostrare, ad esempio, che la curvatura non diminuiva, anzi, tendeva ad aumentare e che, quindi, tale curvatura era positiva. Ma come dimostrare che essa era costante? Qui le difficoltà matematiche, che già erano di altissimo livello, si complicarono esponenzialmente. Solo per dare un’idea intuitiva, c’è solo una cosa che spaventa veramente un matematico: le singolarità: Le singolarità sono dei punti dove le nostre funzioni (o più in generale gli oggetti matematici) perdono delle proprietà fondamentali. Hamilton incontrò questa problematica e pensò di neutralizzarle “interrompendo” il Flusso di Ricci in quei punti e utilizzare funzioni di diverso tipo, per poi riprendere il flusso. Questa tecnica prende il nome di Flusso di Ricci con Chirurgia. Hamilton, da questo punto in poi, si bloccò definitivamente davanti agli enormi ostacoli e alle difficoltà matematiche apparentemente insormontabili.

Molti passi in avanti erano stati fatti, il Flusso di Ricci si era rivelato uno strumento assai potente, ma sembrava che non ci fosse modo di usarlo per risolvere la congettura di geometrizzazione e, di conseguenza, quella di Poincaré.

Il Ritorno di Perel’man e I Problemi del Millennio

Da quando era tornato in Russia, nel 1995, Griša Perel’man era completamente scomparso dalla circolazione: presenziava sempre di meno ai seminari e ridusse in maniera drastica anche la sua presenza all’Istituto Steklov, arrivando a presentarsi solo nel giorno di paga.

Il 28 febbraio del 2000, nella casella di posta elettronica di Michael Anderson (uno dei maggiori studiosi di geometria differenziale e di conseguenza della Congettura di Geometrizzazione) arrivò una strana e-mail. L’emittente? Grigorij Perel’man. Il testo esordiva con un accenno di saluto, per poi deviare immediatamente sull’aspetto matematico.

“Ho appena letto il tuo articolo sulla generalizzazione del teorema di Lichnerowicz e c’è un punto nel tuo testo che mi turba non poco […]. Mi è sfuggito qualcosa?

Un saluto, Griša.” [15]

L’indomani arrivò la risposta di Anderson che ringraziava Grigorij per avergli scritto; spiegò che avrebbe ricontrollato l’articolo e mandato eventuali errori non prima riscontrati ma, soprattutto, chiese quali fossero i suoi settori di ricerca al momento. Susseguì un breve scambio di e-mail fra i due, dove Perel’man disse soltanto che l’articolo aveva attirato la sua attenzione perché era “tangenzialmente ricollegabile” ai suoi attuali interessi di ricerca.

Qualche mese dopo, il 24 maggio del 2000, a Parigi si tenne l’Incontro del Millennio organizzato dall’Istituto Clay.  Cento anni prima, nella stessa Parigi, ci fu il Congresso Internazionale dei matematici durante il quale il grande David Hilbert espose la lista dei suoi 23 Problemi. L’incontro del 2000 si aprì con un breve intervento del presidente del Clay Institute che terminò facendo ascoltare una registrazione di una delle ultime conferenze pubbliche di Hilbert del 1930. In quel discorso Hilbert condannò il pessimismo intellettuale e la concezione secondo la quale esistevano problemi irrisolvibili e concluse la conferenza con una frase che passò alla storia: “Wir müssen wissen, wir werden wissen!” (Dobbiamo sapere, sapremo!). Successivamente furono esposti i sette problemi, denominati Problemi del Millennio. Tutti erano ben noti alla comunità scientifica e tutti erano bollati come problemi straordinariamente difficili. La risoluzione di ogni problema comportava un premio in denaro molto sostanzioso: un milione di dollari. Il primo ad essere menzionato, neanche a dirlo, fu la Congettura di Poincaré.

L’11 novembre del 2002, nel databse ad accesso libero arXiv.org, Grigorij Perel’man pubblicò un articolo dal titolo “The entropy formula for The Ricci flow and its geometric applications” (La formula dell’entropia per il flusso di Ricci e le sue applicazioni geometriche). L’abstract era il seguente:

“Presentiamo un’espressione monotona per il flusso di Ricci, valida in tutte le dimensioni e senza le ipotesi di curvatura. […] Verifichiamo anche diverse asserzioni relative al programma di Richard Hamilton per la dimostrazione della congettura di geometrizzazione di Thurston per tre varietà chiuse, e forniamo uno schizzo di una dimostrazione di questa congettura”. [16]

Il mondo matematico andò immediatamente in tumulto: Griša era riuscito nell’impresa di dimostrare la Congettura di Poincaré? I maggiori (e non solo) matematici mondiali iniziarono freneticamente a studiare l’articolo di sole 39 pagine nel tentativo di carpire qualche informazione. Ma l’elaborato metteva insieme tecniche e problemi di diversi ambiti ultra-specifici della matematica, inoltre la sua sintetica trattazione lo rendeva quasi criptico; bisognava prima decifrare e capire cosa ci fosse scritto. Il 10 marzo del 2003 apparve un ulteriore articolo, questo di 22 pagine, estremamente tecnico dal titolo “Ricci flow with surgery on three-manifolds” (Flusso di Ricci con chirurgia sulla tre-varietà). Questa pubblicazione venne fatta proprio mentre Grigorij attendeva il visto per gli Stati Uniti, dove doveva tenere conferenze sul primo articolo, presso il MIT, Princeton e in altre prestigiose università americane. In questi convegni Griša impose di non essere filmato né registrato; inoltre disse espressamente di non voler giornalisti in sala, forse perché nella sua mente non era ancora giunto il momento di rendere tutto pubblico. In quelle settimane non nomina mai nessuna delle due congetture perché, a suo parere, era solo un piccolo passaggio che aveva provato durante lo studio di una teoria più ampia. Il soggiorno statunitense non è facile per lui; il New York Times il 15 aprile 2003 pubblica un articolo dal titolo quantomeno offensivo per Grigorij: “Il Russo riferisce di aver risolto un celebre problema di matematica”[17]. Perché offensivo? Perché Perel’man non dichiarò di aver risolto nulla. In più nel quarto paragrafo, il Times scrisse che se la sua dimostrazione “sopravviveva” ai referee (i controlli) degli altri matematici e veniva accettata per la pubblicazione in una qualsivoglia rivista scientifica, il dottor Perel’man potrebbe aver diretto a un premio da un milione di dollari. Quasi certamente Griša si sentì offeso da tale affermazione, perché la sua dimostrazione era stata affiancata alla volontà di vincere un premio in denaro; lui, che viveva ancora con i risparmi accumulati dal primo viaggio negli USA, che aveva iniziato a lavorare alla congettura ancora prima dell’istituzione dei Problemi del Millennio, non poteva accettarlo.

Finita la sua permanenza negli Stati Uniti, ritorna in Russia e il 17 luglio del 2003 presenta il suo terzo, e ultimo, articolo presentando un ulteriore risultato analitico in sole 7 pagine.

Iniziò così il lungo ed estenuante processo di verifica da parte della comunità matematica. Il lavoro di Perel’man venne sottoposta a una serie di controlli senza precedenti: in tutto il mondo si organizzarono seminari di ricerca per esaminare attentamente i risultati dei tre articoli. L’istituto Clay entrò immediatamente in azione, organizzando convegni, elargendo fondi per raggruppare i migliori matematici nel tentativo di valutare se la dimostrazione fosse valida o meno.

Nel 2006 arriva la consacrazione: un gruppetto di eminenti matematematici, che avevano seguito tutto il lavoro del matematico russo, redassero una documentazione completa ed esauriente e dove viene spiegata, passo per passo, l’intera dimostrazione. La conclusione? È tutto esatto, la congettura è dimostrata.

Nello stesso anno, un comitato di nove matematici votò per assegnare la prestigiosa medaglia Fields a Perel’man, per il suo fondamentale lavoro. Griša rifiuta categoricamente il premio in denaro, nonostante le insistenze del presidente dell’unione matematica internazionale che volò direttamente a San Pietroburgo e, letteralmente, lo pregò di accettare. Apostrofò questo incontro dicendo che il premio era completamente irrilevante per lui e che se tutti (i colleghi) avevano capito che la prova era corretta, non era necessario nessun altro riconoscimento. Nonostante ciò, il 22 agosto del 2006, al Congresso Internazionale dei matematici di Madrid, la comunità matematica si riunì a Madrid per assegnare il premio; c’è anche il Re spagnolo, invitato per mettere al collo del vincitore la Medaglia. Ma Perel’man non si presenta.

L’Istituto Clay impiega altri quattro anni prima di annunciare l’assegnazione del premio da un milione di dollari. Grigorij questa volta ci pensa davvero ma alla fine rifiuta anche questo, ulteriore, riconoscimento. Le motivazioni reali e documentate sono ancora oggi sconosciute.

Da allora il matematico conduce una vita ritirata nella sua città natale, sembra condividendo l’appartamento con sua madre. Non è dato sapere quali altri, incredibili e sorprendenti, contributi avrebbe potuto dare alla matematica.

Ad oggi, la congettura di Poincaré è l’unico dei sette Problemi del Millennio ad essere stato risolto. Griša è riuscito in un’impresa che sembrava impossibile: dimostrare una congettura che aveva mandato al mittente cento anni di tentativi e il suo nome riecheggerà per sempre nell’Olimpo dei matematici.

Note:

[1] Punteggio perel’man http://www.imo-official.org/participant_r.aspx?id=10481

[2] Masha Gessen- Perfect Rigor. Storia di un genio e della più grande conquista matematica del secolo p. 101

[3] Masha Gessen- Perfect Rigor. Storia di un genio e della più grande conquista matematica del secolo p. 116

[4] Masha Gessen- Perfect Rigor. Storia di un genio e della più grande conquista matematica del secolo p. 117

[5] http://www.pdmi.ras.ru/eng/labs/topologie.php

[6] http://www.mathsoc.spb.ru/mol_mat.html

[7] Marco Manetti- Topologia. UNITEX Spinger-Verlag, 2008 pag.1.

[8] Marco Manetti- Topologia. UNITEX Spinger-Verlag, 2008. Pag. 11

[9] Eric T. Bell- I grandi matematici. BUR- Alta Fedeltà 2010. Traduzione di Daniele Didero. Pag. 601

[10] https://en.wikipedia.org/wiki/Manifold

[11] Donal O’Shea- La congettura di Poincaré. Rizzoli. Traduzione di Daniele Didero.

[12] Excursus sulla dimostrazione della congettura di Poincaré di Giula Sarfatti; Relatore Prof. Fabio Vlacci, Ottobre 2007 (metti link google)

[13] The Poincaré Conjecture- John Milnor

[14] Excursus sulla dimostrazione della congettura di Poincaré di Giula Sarfatti; Relatore Prof. Fabio Vlacci, Ottobre 2007

[15] Perfect rigor p.149

[16] Grisha Perelman- arXiv:math/0211159 https://arxiv.org/abs/math/0211159

[17] https://www.nytimes.com/2003/04/15/science/russian-reports-he-has-solved-a-celebrated-math-problem.html

Articoli di riferimento

I tre preprint di Perel’man sul sito arXiv.org

  1. https://arxiv.org/abs/math/0211159
  2. https://arxiv.org/abs/math/0303109
  3. https://arxiv.org/abs/math/0307245

Excursus sulla dimostrazione della congettura di Poincaré di Giulia Sarfatti (Università degli Studi di Firenze), Relatore: Prof. Fabio Vlacci, Ottobre 2007. http://web.math.unifi.it/users/sarfatti/TesinaWeb.pdf

L’articolo di John Milnor- The Poincaré Conjecture https://www.claymath.org/sites/default/files/poincare.pdf

Bibliografia:

Masha Gessen- Perfect Rigor. Storia di un genio e della più grande conquista matematica del secolo. Traduzione italiana di Olimpia Ellero. Carbonio Editore

Donal O’Shea- La congettura di Poincaré. Traduzione di Daniele Didero. Rizzoli.

Eric T. Bell- I grandi matematici. BUR- Alta Fedeltà. Traduzione di Daniele Didero.

Foto:

Poincaré https://nuovoeutile.it/creativita-la-definizione-di-poincare/

Immagine sfera-ciambella http://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/lincredibile-ubiquita-della-topologia-persistente/ (Articolo consigliato)

Grigorij Perel’man  https://www.rbth.com/science-and-tech/330018-who-are-russian-geniuses

Foto 2 https://www.youtube.com/watch?v=o8Hc72mo2eg (Video consigliato)

Foto 3 https://scienzaesalute.blogosfere.it/post/69801/grigori-perelman-paparazzato-da-un-blogger

Foto 4 https://www.telegraph.co.uk/culture/9475585/Searching-for-Grigori-Perelman-Russias-reclusive-maths-genius.html

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